Вначале несколько цитат из книги Р.Пенроуза “Дорога к реальности”.
1. “Красота и мощь комплексного анализа … позволяющие простым образом выразить решения двумерного уравнения Лапласа, играющего важную роль в физике, через голоморфные функции, побудили математиков ХIX века искать “обобщенные комплексные числа”, которые можно было бы естественным образом применить к трехмерному пространству. Знаменитый ирландский математик Уильям Роуан Гамильтон (1805-1865) был одним из тех, кто долго и глубоко размышлял над этой проблемой. И в конце концов 16 октября 1843 года, когда он с женой прогуливался по берегу Королевского канала в Дублине, к нему неожиданно пришло решение. Открытие привело его в такой восторг, что он тут же высек на камне дублинского Брукхэмского моста свои фундаментальные уравнения:
i^2=j^2=k^2=ijk=-1.” (стр.184)
2. “Все это дает нам очень красивую алгебраическую систему и, казалось бы, возможное удивительное исчисление, хорошо подходящее для исследования физики и геометрии нашего 3-мерного пространства. И действительно сам Гамильтон посвятил оставшиеся 22 года своей жизни попыткам создать такое исчисление. Однако, окидывая взглядом XIX и XX века с нашей нынешней позиции, мы должны оценить эти героические усилия как относительную неудачу. Это не означает, что кватернионы не оказали никакого влияния на математику (и даже физику). Они сыграли определенную роль и, в несколько косвенном смысле, оказали весьма большое влияние благодаря обобщениям разного рода. Однако изначальные “чистые кватернионы” пока не оправдали тех больших надежд, которые на них когда-то возлагали” (стр. 186)

3. “…Было сильное искушение приписать t смысл времени, что бы кватернионы описывали не просто пространство, а четырехмерное пространство-время. Это могло показаться очень заманчивым с позиций XX века, поскольку четырехмерное пространство-время, как мы увидели в главе 17, занимает центральное место в современной теории относительности. Оказывается, однако, что кватернионы не подходят для описания пространства-времени, так как “естественная” для кватернионов квадратичная форма qq^=t^2+x^2+y^2+z^2, с точки зрения теории относительности, имеет “неправильную сигнатуру”.” (там же)

4. “Имеется и другая, возможно более фундаментальная причина, по которой кватернионы не оказались такими математически полезными, как казалось с первого взгляда. В них относительно мало “магии”, и они определенно не могут конкурировать в этом отношении с комплексными числами. Причина состоит в отсутствии удовлетворительного кватернионного аналога понятию голоморфной функции.” (там же)

5. “Нельзя ли найти такую модификацию кватернионов, которая имела бы более прямое отношение к физическому миру? Мы увидим, что это вполне возможно, но для этого придется пожертвовать упомянутым ключевым свойством кватернионов, а именно, возможностью делить на них (если кватернион отличен от нуля).” (стр. 187)

6. “Из истории известно много примеров, когда красивая математическая схема, сулящая на первый взгляд революционный путь к раскрытию тайн Природы, в дальнейшем этих надежд не оправдывала. Хорошим примером может служить система кватернионов с ее привлекательным свойством формировать алгебру с делением. Как было описано в параграфе 11.2, открыв кватернионы в 1843 году, Гамильтон посвятил оставшиеся 22 года жизни попыткам представить законы Природы исключительно в рамках этой схемы. Однако эта “чисто-кватернионная” работа (я имею ввиду первоначальную систему кватернионов с их свойством образования алгебры с делением) оказала весьма слабое непосредственное влияние на дальнейшее развитие основ физической науки. В то же время влияние других работ Гамильтона было поистине огромным и вполне непосредственным. Его более ранние исследования того, что мы нынче называем “гамильтонианами”, “принципом Гамильтона”, “уравнением Гамильтона-Якоби” и т.д., позволили увидеть аналогию между ньютоновскими частицами и волнами, что стало поворотным пунктом в развитии квантовой механики и квантовой теории поля в XX веке.” (стр.841)

7. “В середине XIX века было, наверное, очень легко увлечься прекрасным свойством кватернионов делиться друг на друга (параграф 11.1). Это удивительное свойство, присущее кватернионам и сравнительно немногим другим алгебрам, оказало значительное влияние на чистую математику, но не повлияло непосредственно на развитие основной линии физики. Должно было последовать клиффордово обобщение кватернионов на большее число измерений с более поздними идеями Паули и особенно Дирака, в которых была использована лоренцева сигнатура, характерная для пространства-времени, что бы стало возможным достигнуть успеха в физической теории (см. параграфы 11.5, 24.6, 24.7). Однако красивое свойство делимости, так привлекавшее Гамильтона, здесь не понадобилось!” (там же)

8. “Математика – особенно красивая математика – имеет обыкновение находить применение в совершенно различных областях, и в этом одна из причин ее силы и прочности. Деятельность Природы часто оказывается удивительным источником подобных математических идей. Точность и надежность этих идей, вдохновленных Природой, вероятно, не покажется такой удивительной, если принять, что Природа действует в полном согласии с законами математики. Более замечательна тонкость математики, которая, по-видимому, заключена в законах Природы, и ее способность находить применение в областях, далеко отстоящих от первоначальной цели..” (там же)

Если к проблеме обозначенной в вышеприведенных цитатах подходить формально, то Пенроуз абсолютно прав и на примере кватернионов красота математики в части своего фундаментального применения к физике дала серьезный сбой. Однако есть и такая возможность, на которую ни Пенроуз, ни его многочисленные предшественники не обратили серьезного внимания. А именно, вместо задачи поиска НЕИЗВЕСТНОЙ четырехкомпонентной алгебры соответствующей ИЗВЕСТНОЙ геометрии пространства-времени, взять на вооружение прямо противоположное предположение, поискать существование НЕИЗВЕСТНОЙ специального вида геометрии пространства-времени, которая будет соответствовать ИЗВЕСТНОЙ четырехкомпонентной алгебре. Естественно я имею ввиду алгебру квадрачисел Н4. Она отличается от алгебры кватернионов главным образом тем, что ее умножение коммутативно и задается немного иным законом, а именно:
I^2=J^2=K^2=IJK=+1
Как и кватернионы, эта алгебра обладает делением, правда, чисел-исключений, на которые нельзя делить, в ней несколько больше чем у первых, но ведь не даром существует поговорка, что там, где есть одно исключение это может стать правилом:) Формально такие алгебры можно называть с частичным делением и они известны под термином коммутативных колец.
Однако перед кватернионами у этой алгебры есть как минимум одно величайшее преимущество. Множество голоморфных функций на ней ТАКОЕ ЖЕ богатое, как и на множестве комплексных чисел, а также числа, сопряженные заданному числу, как и у комплексных чисел, невозможно получить при помощи алгебраических действий с числами того же множества. У кватернионов, как с неприкрытым сожалением отмечает Пенроуз, это не так, поскольку существует связь между сопряженными:
q^=-1/2(q+iq1+jqj+kqk) (стр.187)
Более того, у каждого заданного квадрачисла:
Н=h1+Ih2+Jh3+Kh4
не одно сопряженное, а целых три:
H^=h1+Ih2-Jh3-Kh4
H*=h1-Ih2+Jh3-Kh4
H^*=h1-Ih2-Jh3+Kh4

И что замечательно, произведение такой четверки:
HH^H*H^*=!H!^4
Всегда действительное число, причем выраженное через компоненты это число имеет форму:
!Н!^4=h1^4+h2^4+h3^4+h4^4-2(h1^2h2^2+h1^2h3^2+h1^2h4^2+h2^2h3^2+h2^2h4^2+h3^2h4^2)+8h1h2h3h4
А это ни что иное, как метрическая форма “плоского” финслерова пространства с метрической функцией Бервальда-Моора. Это легко понять, если перейти в новый базис, в котором эта же форма принимает более лаконичный вид:
!H!^4=x1x2x3x4

Но даже и это не самое важное. В алгебре квадрачисел БОЛЬШЕ, чем в алгебре комплексных чисел, естественным образом выделенный функций. Там они все подпадают под понятие голоморфности (о которой так уважительно отзывается Пенроуз), а здесь у нас есть место вместе с голоморфными функциями рассматривать и их удивительные обобщения. Это обусловлено тем, что голоморфные функции тесно связаны с инвариантностью при связанных с ними преобразованиях такой геометрической величины, как угол. В геометрии же с метрикой Бервальда-Моора, кроме длин и углов, есть место еще для, минимум, двух инвариантов связанных с четырехлинейностью аналога скалярного произведения в данной геометрии. То есть, это обобщения понятия угла на случай фигур, образуемых тремя и четырьмя векторами. Причем это отнюдь не телесные углы и их четырехмерные обобщения, а самые настоящие НОВЫЕ метрические понятия.

Таким образом, вместо того, что бы сокрушаться, что красивая алгебра кватернионов не смогла найти своего достойного места в физике и геометрии пространства-времени с метрической функцией Минковского, можно с гораздо большими шансами на успех заняться построением новой геометрии пространства-времени, но уже с метрикой Бервальда-Моора. Причем, в случае успеха, у такого пространства-времени уже существует непосредственная связь с алгеброй даже более интересной, чем алгебра кватернионов.

Неужели Гамильтон оказался последним профессиональным математиком готовым посвятить несколько десятков лет своей жизни поиску связи алгебры и физики? Или может сегодняшние математики считают себя умнее и дальновиднее Гамильтона? И не собираются тратить свое драгоценное время на ерундовую задачу доказательства, что красивые математические конструкции не существуют вне связи с физикой..