За давностью лет могу что-то и попутать, но попытка новой интерпретации обычных комплексных чисел заключалась в том, что вместо привычной формы представления комплексного числа:
z=x+iy
принималась несколько иная:
z=(SQRT(r1)+i(SQRT(r2))^2=(r1-r2)+2iSQRT(r1r2).
Нетрудно видеть, что в этом случае модуль комплексного числа оказывается равным:
!z!=r1+r2
а аргумент:
arg(z)=arctg(2SQRT(r1r2)/(r1-r2))
Отсюда возникает и идея представлять любое комплексное число в виде отрезка на действительной прямой обладающего длиной и "фазой". Начало этого отрезка в точке -r2 слева от нуля, а конец в точке +r1 справа. Тогда модуль комплексного числа это длина этого отрезка, а аргумент - фаза, по сути, характеризующая, на сколько "отрицательная" часть отрезка больше положительной. Конечно комплексное сложение таких отрезков с фазой сильно отличается от привычного сложения отрезков без фаз, но потренировавшись - быстро привыкаешь. Замечательно, что при r2=0 все свойства так интерпретируемых комплексных чисел просто переходят в свойства действительных чисел. Кроме того, эта интерпретация без напряга расширяется и на двойные числа, которые в отличие от комплексных чисел оказываются отрезками, начала и концы которых лежат по одну сторону от нуля на действительной оси. То есть, в случае такой интерпретации не возникает необходимости менять геометрию двухмерной плоскости с евклидовой на псевдоевклидову, да и размерность в два раза меньшая, чем обычно, также сулит определенную пользу в последующем при распространении подобной интерпретации на гиперкомплексные числа с четырьмя и большим числом компонент..