>Замечу, что это определение сильно отличается от привычного, согласно которому, как я понимаю, вектор - это элемент векторного пространства, линейного по определению. Насколько я могу судить, хоть очень мало разбираюсь в этой области математики, для Риманова многообразия в каждой точке естественно вводится касательное Евклидово пространство, пользуясь дифференцируемостью Риманова мноообразия, которой в вашей геометрии нет вместе с отсутствием эпсилон-окрестности.

Вы совершенно правы. Действительно, собственно евклидова геометрия является логическим построением, где векторы являются элементами линейного векторного пространства. Математический аппарат евклидовой геометрии основан на операциях с векторами (сложение, умножение на число, разложение на составляющие), свойства которых определяются аксиомами линейного векторного пространства. В дискретной геометрии линейного векторное пространство ввести нельзя (точнее нельзя ввести его с теми свойствами линейности, к которым привыкли математики). Возникает дилемма: (1) либо мы не вводим линейного пространства и не рассматриваем на этом основании дискретные геометрии, (2) либо мы вводим линейное пространство с необычными (нелинейными) свойствами. Но во втором случае геометрия перестает быть логическим построением, т.е. она оказывается неаксиоматизируемой, а операции сложения векторов и умножения вектора на число оказываются неоднозначными. Неоднозначным оказывается и разложение вектора на составляющие.

В настоящее время позиция математиков по вопросу о дискретной геометрии представляется мне следующей. Они не признают неаксиоматизируемых геометрий, т.е. геометрий, не являющихся логическим построением. Формально они этого не говорят, но реально пользуются только римановыми геометриями, а из дискретных геометрий рассматривают только геометрии на решетке, которые по существу являются геометриями Минковского на счетном множестве точек.

Я не вижу оснований требовать аксиоматизируемости геометрий. Действительно, мы привыкли работать с аксиоматизируемыми геометриями, и не умеем работать с дискретными геометриями, но наше невежество в этом вопросе не может быть аргументом. Реальная геометрия пространства-времени является дискретной геометрией, и ее придется изучать даже в том случае, если для этого придется переучиваться и научиться работать с более широким классом геометрий, чем римановы геометрии.

Я рассматриваю геометрию как науку об описании взаимного расположения геометрических объектов. В этом качестве взаимное расположение геометрических объектов полностью описывается мировой функцией (функцией расстояния). Мировая функция содержит полную информацию о геометрии. Однако важным является вопрос, как следует обрабатывать информацию, содержащуюся в мировой функции для того, чтобы приспособить ее для описания динамики частиц. При этом геометрия должна основываться на использовании мировой функции и только мировой функции. Будет ли при этом геометрия логической конструкцией, является несущественной деталью. Мировая функция должна быть единственной фундаментальной величиной в геометрии, а все остальные геометрические величины должны быть производными от мировой функции (результатом обработки информации, содержащейся в мировой функции).

С одной стороны собственно евклидова геометрия является добротно построенной геометрией, а с другой стороны все ее понятия и соотношения могут быть описаны в терминах мировой функции. Для построения дискретной (и любой другой физической) геометрии нужно заменить евклидову мировую функцию в соотношениях евклидовой геометрии. При этом соотношения евклидовой геометрии, записанные терминах мировой функции, бывают двух сортов: (1) общегеометрические соотношения и (2) специальные соотношения евклидовой геометрии.

Общегеометрические соотношения представляют собой определения различных понятий, величин и операций собственно евклидовой геометрии, сделанные в терминах мировой функции. Замена евклидовой мировой функции на другую мировую функцию приведет к определению упомянутых выше величин в другой геометрии. При этом ниоткуда не следует, что линейные свойства операций линейного векторного пространства сохранятся.

Специальные соотношения евклидовой геометрии описывают свойства евклидовой мировой функции в терминах этой функции. Они представляют собой ограничения, налагаемые на ЕВКЛИДОВУ мировую функцию. Бессмысленно подставлять другую мировую функцию в специальные соотношения евклидовой геометрии, поскольку это ограничения на евклидову мировую функцию, которые, вообще говоря, не выполняются для мировой функции другой (дискретной) геометрии.

При традиционном описании собственно евклидовой геометрии на основе линейного векторного пространства нет различия между общегеометрическими соотношениями и специальными соотношениями евклидовой геометрии. Это различие возникает только после описания евклидовой геометрии в терминах мировой функции. По этой причине возникает путаница. Математики по привычке пытаются связать разные соотношения логическими связями, а это не удается, поскольку физическая геометрия строится не на основе логики, а на основе обработки мировой функции, являющейся основой геометрии. Привычные свойства математического аппарата геометрии нарушаются Например, скалярное произведение утрачивает свои линейные свойства. «Как же так?» - удивляются математики: «Почему скалярное произведение в дискретной геометрии не имеет свойств, приписываемых ему аксиомами линейного векторного пространства? Не называйте скалярное произведение, записанное в терминах мировой функции скалярным произведением. Используйте другое название для этой величины. Не вводите в заблуждение математиков!» А дело в том, что после замены евклидовой мировой функции на мировую функцию дискретной геометрии геометрия перестает быть аксиоматизируемой геометрией, где можно ввести обычное линейное векторное пространство, и скалярное произведение не обладает больше свойством линейности.
Скалярное произведение, определенное на основе мировой функции, является более общим по сравнению со скалярным определением, данным на основе аксиом линейного пространства. По этой причине более общий термин «скалярное произведение» следует сохранить за ним. Для скалярного произведения, данного на основе линейного пространства, следует использовать более частный термин, например «линейное скалярное произведение».

К сожалению, математики, поднаторевшие на дедукциях, но не имеющие опыта в работе с логической перезагрузкой, не понимают всего этого.

>Хорошо, вы называете вектором любую упорядоченную пару точек. А что такое матрица Грамма для нескольких ваших векторов? Ведь традиционно она составляется из скалярных произведений векторов, принадлежащих одному Евклидовому пространству, как скалярных произведений его элементов.

Обычно вопрос о линейной зависимости нескольких векторов решается так. Строится линейная комбинация векторов (сумма векторов с некоторыми коэффициентами). Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда существует такой набор коэффициентов, что линейная комбинация обращается в нуль.
Для реализации этой процедуры необходимо знать операции сложения векторов и умножения вектора на число. При традиционном описании эти операции определены аксиоматически в линейном векторном пространстве, и проблем не возникает. Определение этих операций в евклидовой геометрии в терминах мировой функции требует использования специальных соотношений евклидовой геометрии, и такое определение не пригодно в дискретной геометрии.

Однако обращение в нуль определителя Грама, составленного из скалярных произведений, является необходимым и достаточным условием линейной зависимости векторов. По этой причине в евклидовой геометрии обращение в нуль определителя Грама может служить ОПРЕДЕЛЕНИЕМ линейной зависимости векторов. Определение скалярного произведения в терминах мировой функции является общегеометрическим соотношением, поскольку оно не содержит ссылки на специальные соотношения евклидовой геометрии. В результате линейная зависимость векторов может быть определена общегеометрически через определитель Грама, построенный из скалярных произведений, являющихся общегеометрическими соотношениями.